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mwawWavelet o mwbaondicelle, mwbqanalisi wavelet, e mwbgtrasformata wavelet si riferiscono alla rappresentazione di un mwbwsegnale mediante l'uso di una mwcaforma d'onda oscillante di lunghezza finita o a decadimento rapido (nota come mwcqwavelet madre). Questa forma d'onda è scalata e mwcwtraslata per adattarsi al segnale in ingresso. Sono considerate uno strumento versatile sia per il contenuto matematico, sia per le relative applicazioni.cite-ref-0-1-0[1]

• Storia

• Cronologia

• Descrizione

• Introduzione

• Utilità delle wavelet

• Wavelet madre

• Confronto con Fourier

• Definizione di wavelet

• Filtro di scalamento

• Funzione di scalamento

• Funzione wavelet

• Applicazioni

• Trasformate wavelet

• Elenco di wavelet

• Wavelet discrete

• Wavelet continue

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Le wavelet sono funzioni matematiche che soddisfano determinati requisiti e sono usate nella rappresentazione di dati e altre funzioni. L’approssimazione con sovrapposizione di funzioni esisteva già nei primi anni dell’Ottocento. La tecnica sviluppata dal matematico mwewJ. Fourier (1807) dimostra che qualunque funzione continua si può rappresentare attraverso una serie continua di funzioni sinusoidali elementari (mwfaseno e mwfqcoseno). Grazie a tale scoperta si è potuto scomporre funzioni complicate in una serie di funzioni, denominata appunto mwfgmwfwSerie di Fourier, che rende l’analisi più semplice. cite-ref-0-1-1[1]

Lo sviluppo delle wavelet può essere collegato a diverse correnti di pensiero separate che hanno origine dal lavoro di mwhqAlfréd Haar all'inizio del mwhgXX secolo (1910 circa): egli introduce una funzione sotto forma di un impulso pari rettangolare, studiandone le proprietà analitiche. cite-ref-0-1-2[1] Importanti contributi sono forniti dal fisico mwiwKennet Geddes Wilson (1971) e dei ricercatori francesi, nel campo dei segnali digitali, A. Croisier, D. Esteban, C. Galand (1976), fino al contributo di D. Marr (1980) nella trattazione del sistema di visione umana. Ronald Coifman, Victor Wickerhauser danno il loro contributo negli anni '80 - '90. Tantissimi scienziati e studiosi hanno dato il loro contributo diretto e indiretto.cite-ref-0-1-3[1]

• 1909:: Prima wavelet (mwlqwavelet Haar) di mwlgAlfréd Haar. Le sue funzioni, ancora usate oggi, consistono in un breve impulso positivo seguito da un breve impulso negativo. Le wavelets di Haar sono le più semplici esistenti. Lo svantaggio tecnico è che non sono continue e non differenziabili. Questo può essere un vantaggio per l’analisi di segnali con sbalzi improvvisi. cite-ref-0-1-4[1]

• Anni '30: numerosi gruppi di scienziati lavorano indipendentemente alla ricerca della rappresentazione delle funzioni usando funzioni base a scale variabili. Usando le funzioni base a scala variabile (funzioni base di Haar), Paul Levy (un fisico degli anni ’30), studia il moto Browniano (moto disordinato delle particelle) e nota che le funzioni base di Haar sono migliori delle funzioni base di Fourier nello studio di piccoli dettagli complicati. Sempre negli anni ’30 i lavori di ricerca dei matematici inglesi J. Littlewood, R. Paley e Stein, volti a calcolare l’energia di una funzione, portano a differenti risultati a seconda che l’energia sia concentrata attorno a pochi punti, oppure distribuita su un intervallo più ampio. Questi risultati indicano che l’energia può non essere conservata. Le ricerche di questo periodo forniranno al neuroscienziato D. Marr le basi per progettare un algoritmo in funzione dell’elaborazione delle immagini usando le wavelet nei primi anni ’80. cite-ref-0-1-5[1]

• 1946: D. Gabor, fisico anglo-ungherese, sviluppa il campo dell’ottica elettronica proponendo la tecnica dell’olografia che gli fa vincere il mwoqpremio Nobel per la fisica. Nel campo dell’elaborazione numerica dei segnali (o DSP, Digital Signal Processing) sviluppa, come risultato dei suoi studi sul comportamento e l’udito, la Teoria della sintesi granulare per la creazione di texture del suono. Introduce la Trasformata di Gabor. cite-ref-0-1-6[1]

• 1948: Shannon elabora la teoria del campionamento. cite-ref-0-1-7[1]

• 1960: A. Calderon, un matematico argentino - americano, scopre una formula matematica che permette ai suoi successori di recuperare un segnale partendo dalla sua espansione wavelet. cite-ref-0-1-8[1]

• 1975: G. Zweig, scienziato russo che si interessa alla neurobiologia dà un contributo alla trasformata di wavelet continua originariamente chiamata “ Cochlear ”. Essa viene scoperta studiando la reazione dell’orecchio che ascolta un suono. cite-ref-0-1-9[1]

• Dagli anni '80: mwtgYves Meyer,

• 1982: mwuaJean Morlet, mwuqAlex Grossmann e Goupilland: Teoria sulla Trasformata Wavelet Continua (CWT). mwugMorlet, a differenza di quanto fatto nella STFT, blocca il numero di oscillazioni nella funzione, cambiandone l’ampiezza attraverso compressioni (o allungamenti) cite-ref-0-1-10[1]

• mwwa1983: Jan-Olov Strömberg esegue dei lavori preliminari sulle wavelet discrete cite-ref-0-1-11[1]

• 1984: mwxwJean Morlet, mwyaAlex Grossmann scrivono il primo articolo sulla CWT e conia- no la parola “wavelet”, che entra a far parte del lessico matematico. Prima si utilizzava il termine “ondelette” (in francese) cite-ref-0-1-12[1]

• 1986: mwzgYves Meyer (in collaborazione con lo studente Lemarié) dà vita alla Trasformata Wavelet Ortogonale.

• mwaa1989: Stéphane Mallat introduce la struttura a multi risoluzione

• mwaw1991: Delprat con la sua interpretazione in tempo-frequenza della CWT

• mwbg1987; mwbwIngrid Daubechies, fisica belga e matematica, costruisce la prima wavelet ortogonale con supporto compatto cite-ref-0-1-13[1]

• 1988: Battle - Lemarié ideano wavelets ortogonali che usano funzioni spline esponenzialmente decrescenti cite-ref-0-1-14[1]

• 1988 - 1989: mwegIngrid Daubechies costruisce wavelet a supporto compatto costruite mediante iterazioni di alcuni filtri discreti. cite-ref-0-1-15[1]

• 1989: Il matematico Albert Cohen scopre l’uso dei “wavelet filters” nell’analisi wavelet, la cosiddetta “Condizione di Cohen per l’ortogonalità”. cite-ref-0-1-16[1]

• 1990: D. Donoho e J. Iohnstone (mwhqUniversità di Stanford), usano le wavelet per ripulire le immagini (”de-noise”) rendendole più fedeli all’originale. cite-ref-0-1-17[1]

• 1991: N. Delprat: interpretazione in tempo-frequenza della CWT. cite-ref-0-1-18[1]

• 1881: R. Coifman, Y. Meyer, V. Wicherhauser introducono insiemi di wavelets e le applicano alla compressione dei dati. cite-ref-0-1-19[1]

• 1992: L’FBI sceglie il metodo delle wavelet sviluppato da Tom Hopper (della sezione FBI Criminal), G. Bradley e C. Brislawn (che faceva parte del Laboratorio Nazionale di Los Alamos) per digitalizzare l’enorme database di impronte digitali. cite-ref-0-1-20[1]

• 1993: D. Newland, scienziato inglese, introduce la Trasformata Wavalet Armonica (HWT) basata su wavelets lineari di una data funzione in una rappresentazione tempo-frequenza. cite-ref-0-1-21[1]

• 1995: Foufoula - Georgiou e Kumar fanno una completa descrizione delle applicazioni fisiche delle wavelets. cite-ref-0-1-22[1]

• 1996: Barbara Burke Hubbard descrive la nascita, la storia e i concetti più importanti relativi alla wavelets in un testo molto chiaro: “The World According To Wavelets”. cite-ref-0-1-23[1]

• 1998: Walt Disney e Pixar Studio producono il primo film che impega le wavelets nell’animazione computerizzata: A bug’s life, che utilizza la tecnica delle superfici di suddivisioni, sostituendo la tecnica NURBs. cite-ref-0-1-24[1]

La parola mwsawavelet, mwsqondina, ha origine nei primi anni ottanta ed è dovuta a mwsgMorlet e Grossman che infatti usavano la parola mwtafrancese mwtqondelette (piccola onda). Poco più tardi la parola venne convertita in inglese traducendo "onde" ("onda" in francese) in "wave", ottenendo wavelet. Le trasformate wavelet sono classificate a livello generale nella trasformata wavelet discreta (mwtwDiscrete Wavelet Transform, DWT) e nella trasformata wavelet continua (mwuqContinuous Wavelet Transform, CWT). La differenza di principio fra le due è il fatto che la trasformata continua opera su tutte le possibili scale e traslazioni, mentre la trasformata discreta usa un sottoinsieme discreto di tutti i valori possibili.

La teoria delle wavelet è applicabile a molti campi. Tutte le trasformate wavelet possono essere considerate come forme di rappresentazioni in tempo-frequenza e sono quindi in relazione con l'mwvqanalisi armonica. Quasi tutte le mwvgtrasformate wavelet discrete utili in pratica usano dei banchi di filtri a mwvwrisposta impulsiva finita. Le wavelet che costituiscono una CWT sono soggette al mwwqprincipio di indeterminazione di mwwgHeisenberg e allo stesso modo le basi delle trasformate wavelet discrete si possono considerare soggette ad altre forme di principio di indeterminazione.

In termini semplici, ma tecnicamente non corretti, la wavelet madre mwxq ψ ψ ( t ) {\displaystyle \psi \ (t)} deve soddisfare:

mwya ∫ ∫ − − ∞ ∞ + ∞ ∞ | ψ ψ ( t ) | 2 d t = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (t)|\ ^{2}\,dt=1} , cioè mwyq ψ ψ ∈ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} è normalizzata

Y

mwzq ∫ ∫ − − ∞ ∞ + ∞ ∞ | ψ ψ ( t ) | d t < + ∞ ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }|\psi \ (t)|\,dt<+\infty } , cioè mwzg ψ ψ ∈ ∈ L 1 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{1}(\mathbb {R} )} è finita

mw0a ∫ ∫ − − ∞ ∞ + ∞ ∞ ψ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\psi \ (t)\,dt=0} , cioè a media nulla

Nella maggior parte delle situazioni è utile richiedere che mw0g ψ ψ {\displaystyle \psi } sia continua e che abbia un numero alto mw0wM di momenti nulli, cioè per ogni intero mw1am<M

mw1w ∫ ∫ − − ∞ ∞ + ∞ ∞ t m ψ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }t^{m}\,\psi \ (t)\,dt=0}

Questo significa che la wavelet madre deve essere non nulla e avere una media nulla. Tecnicamente la wavelet madre deve soddisfare un criterio di ammissibilità. Alcuni esempi di wavelet madre sono:

La wavelet madre è scalata (o dilatata) di un fattore mw7a a {\displaystyle a} e traslata (o mossa) di un fattore mw7q b {\displaystyle b} per dare, nella formulazione originaria di Morlet:

mw8a ψ ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ψ ( t − − b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={1 \over {\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over a}\right)}

Queste funzioni sono spesso indicate erroneamente come le funzioni base della trasformata. Di fatto, non esiste una base. L'interpretazione in tempo-frequenza infatti richiede una formulazione leggermente diversa.

La trasformata wavelet è spesso paragonata alla mw9atrasformata di Fourier, dove i segnali sono rappresentati come somma di armoniche. La differenza principale è che le wavelet sono localizzate sia nel tempo sia nella frequenza mentre la trasformata di Fourier standard è localizzata solo in mw9qfrequenza. La trasformata di Fourier a tempo breve (STFT) è localizzata in tempo e in frequenza, ma ci sono dei problemi di risoluzione e le wavelet spesso offrono una migliore rappresentazione del segnale grazie all'uso dell'analisi multirisoluzione.

La trasformata wavelet inoltre è anche meno mw-qcomplessa computazionalmente, richiedendo un tempo O(mw-gN) al contrario del tempo O(mw-wN log mw-aN) richiesto dalla mw-qtrasformata di Fourier veloce (mw-gN indica la dimensione dei dati).

Esistono vari modi per definire una wavelet o una famiglia di wavelet.

La wavelet è completamente definita dal filtro di scalamento mwaqmg, un mwaqqfiltro FIR (mwaquFinite Impulse Response) passa-basso di lunghezza mwaqy2N e somma 1. Nelle wavelet biortogonali sono definiti filtri distinti per la decomposizione e per la ricostruzione.

Il filtro passa-alto è definito come il mwaqgfiltro QMF (mwaqkQuadrature Mirror Filter) del filtro passa-basso e il filtro di ricostruzione come il filtro a tempo invertito di quello di decomposizione.

Esempio: wavelet Daubechies e Symlet.

Le wavelet sono definite dalla funzione wavelet mwaq0 ψ ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} , cioè la wavelet madre, e dalla funzione di scalamento mwaq4 ϕ ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} , detta anche wavelet padre, nel mwaq8dominio del tempo.

La funzione wavelet è in effetti un filtro passa-banda e il suo scalamento ad ogni livello dimezza la sua banda. Questo crea il problema che, per coprire tutto lo spettro, sono richiesti un numero infinito di livelli. La funzione di scalamento filtra il livello più basso della trasformata e assicura che tutto lo spettro sia coperto. Vedi mware per una spiegazione dettagliata.

Per una wavelet a supporto compatto, mwarm ϕ ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} può essere considerata di lunghezza finita ed è equivalente al filtro di scalamento mwarqg.

Esempio: wavelet Meyer.

La wavelet ha solo una rappresentazione nel dominio del tempo come funzione wavelet mwarg ψ ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} .

e.g. wavelet "cappello messicano".

Generalmente la DWT è usata nella codifica dei segnali mentre la CWT è usata nell'mwar0analisi dei segnali. Di conseguenza la DWT è usata comunemente in ingegneria e informatica e la CWT è usata più spesso nella ricerca scientifica. Le trasformate wavelet sono ora adottate in un gran numero di applicazioni, spesso sostituendo la mwar4trasformata di Fourier convenzionale. Molte aree della fisica hanno visto questo cambiamento di paradigma, inclusi la mwar8dinamica molecolare, il calcolo ab initio, l'mwaseastrofisica, la geofisica sismica, l'mwasiottica, la mwasmturbolenza e la mwasqmeccanica quantistica. Altre aree che stanno vedendo questo cambiamento sono l'mwasuelaborazione delle immagini, la misura della pressione del sangue, lo studio del battito del cuore e l'analisi dell'mwasyECG,mwasc ;'analisi del mwasgDNA, l'analisi delle mwaskproteine, la mwasoclimatologia, l'mwasselaborazione dei segnali in generale, il mwaswriconoscimento vocale, la mwas0grafica computerizzata e l'analisi multifrattale.

Una delle applicazioni delle wavelet è la compressione di dati. Come molte altre trasformate, la trasformata wavelet può essere usata per trasformare dati grezzi. come le immagini per poi codificare i dati trasformati e ottenere un'effettiva compressione. Il formato mwataJPEG 2000 è uno standard di immagini che usa le wavelet.

Esistono un gran numero di trasformate wavelet, ognuna adatta a una differente applicazione. Per una lista completa vedi elenco di trasformate wavelet, ma le più comuni sono qui elencate:

• Trasformata wavelet continua (CWT)

• Trasformata wavelet discreta (DWT)

• Trasformata wavelet veloce (FWT)

• Decomposizione in pacchetti wavelet (WPD)

• Beylkin (18)

• Coiflet (6, 12, 18, 24, 30)

• Wavelet di Daubechies (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20)

• Wavelet di Cohen-Daubechies-Feauveau (talvolta riportata come Daubechies biortogonale, bior44=CDF9/7)

• Wavelet di Haar

• Filtro di Vaidyanathan (24)

• Symmlet

• Trasformata wavelet complessa

• Wavelet cappello messicano

• Wavelet hermitiana

• Wavelet di Morlet

• Wavelet di Morlet modificata

• Wavelet di Addison

• Wavelet hilbertiana-hermitiana

cite-note-0-11. ↑ mwaxc(mwaxgmwaxkIT) Marcello Allegretti, mwaxoLe funzioni wavelet nelle applicazioni scientifiche: Rassegna sulle wavelet, EAI (Edizione Accademiche Italiane), 2014, mwaxsISSNmwaxw 9783639656084.

• mwayc(EN) Paul S. Addison, mwaygThe Illustrated Wavelet Transform Handbook, mwaykInstitute of Physics, 2002, ISBN 0750306920

• mwayw(EN) mway0Ingrid Daubechies, mway4Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, ISBN 0898712742

• mwaze(EN) Mladen Victor Wickerhauser, mwaziAdapted Wavelet Analysis From Theory to Software, A K Peters Ltd, 1994, ISBN 1568810415

• mwazu(EN) P. P. Viadyanathan, mwazyMultirate Systems and Filter Banks, Prentice Hall, 1993, ISBN 0136057187

• (IT) Marcello Allegretti, Le funzioni Wavelet nelle applicazioni scientifiche: Rassegna sulle wavelet , EAI (Edizioni Accademiche Italiane), 2014, mwazkISBN 9783639656084

• Banco di filtri

• mwaz8Banda ultralarga

• Trasformata di Fourier a breve termine

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Wavelet

• mwaay(EN) Wavelet Digest, su wavelet.org. URL consultato il 30 settembre 2005 (archiviato dall'url originale il 29 settembre 2020).

• mwaag(EN) Amaras Wavelet Page, su amara.com. URL consultato il 30 settembre 2005 (archiviato dall'url originale il 30 giugno 2007).

• mwaao(EN) Wavelet Posting Board, su ondelette.com. URL consultato il 30 settembre 2005 (archiviato dall'url originale il 1º ottobre 2005).

• mwaaw(EN) The Wavelet Tutorial by Polikar, su users.rowan.edu. URL consultato il 30 settembre 2005 (archiviato dall'url originale il 10 febbraio 2004).

• mwaa4(EN) OpenSource Wavelet C Code, su herbert.the-little-red-haired-girl.org.

• mwaba(EN) Filter Coefficients of Popular Wavelets, su mathworks.com.

• mwabi(EN) mwabmWavelets for Kids (PDF file) (introduttivo)

• mwabu(EN) Link collection about wavelets, su cosy.sbg.ac.at.

• mwabc(EN) List of Wavelet resources, libraries and source codes, su compression-links.info. URL consultato il 30 settembre 2005 (archiviato dall'url originale il 1º dicembre 2005).

• mwabk(EN) A really friendly guide to wavelets, su perso.wanadoo.fr.

• mwabsNote sulle ondicelle (PDF), su caressa.it.